Plus loin avec les fractales: Les quaternions
Cette page est une brève introduction aux quaternions et au moyen de
les utiliser pour construire des ensembles de Julia un peu particuliers.
Qu'est ce qu'un quaternion?
Introduits par Sir William R. Hamilton, un scientifique anglais de la fin du
19° siècle, les quaternions ne sont qu'une extension des nombres
complexes.
Un quaternion peut s'écrire sous la forme:
Q = x + yi + zj + wk
ou x, y, z et w sont des coefficients réels
tandis que i, j et k sont les différentes racines
imaginaires régies par les lois suivantes:
i² = j² = k² = -1
ij = k, jk = i, ki = j
ji = -k, kj = -i, ik = -j
Exemple: Q = 0.845 -0.5i -0.113j -0.05k
Les quaternions s'additionnent et se soustraient en additionnant ou soustraiant
leurs composantes:
Q1 = x1 + y1i + z1j + w1k
Q2 = x2 + y2i + z2j + w2k
Q1 + Q2 = x1 + x2 + (y1 + y2)i + (z1 + z2)j
+ (w1 + w2)k
Le produit de quaternion est plus compliqué et n'est qye de peu d'utilité
pour la suite. Le carré d'un quaternion Q est par contre assez simple
et utille ici:
Q = x + yi + zj + wk
Q²=(x²-y²-z²-w²)
+2xyi +2xzj +2xwk
On voit bien que les quaternions ne sont qu'une généralisation
des nombres complexes (ce sont même de simples complexes si z et
w sont nuls).
Les quaternions dans l'ensemble de Julia?
On utilisera exactement les mêmes formules que dans l'ensemble de Julia
en complexe, en adoptant une méthode de colorisation différentes.
Si un quaternion a divergé avant un nombre d'itération fixé,
il ne sera pas dessiné, sinon la couleur utilisera une fonction f(x,y,z,w)...
Un quaternion Q0 appartient à l'endemble de Julia associé au quaternion
constant C si la série définie par la formule récursive
ci dessous ne diverge pas quand n tend vers l'infini:
Qn+1 = Qn² + C
Bien entendu, il n'est pas possible de représenter un espace à
4 dimensions à l'écran, on reporésentera donc par exemple
l'intersection de l'ensemble avec un hyperplan défini par w=Cste...
Vous trouverez ci-dessous un exemple lié au quaternion cité plus
haut. Même sur une machine rapide et en utilisant une fenêtre de
rendu de petite dimension, chaque image peut demander plusieurs minutes de calculs...
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[Module]
{ R=Zr+Zr+Zi*Zi+Zj*Zj+Zk*Zk; }
[IncJulia]
{
Tr=Zr; Zr=Zr*Zr-Zi*Zi-Zj*Zj-Zk*Zk-Cr;
Zi=2*Tr*Zi-Ci; Zj=2*Tr*Zj-Cj;
Zk=2*Tr*Zk-Ck;
}
[Julia]
{
C=0;
Exec [Module];
While(R<16 & C<CMax)
{ Exec [IncJulia]; C++; Exec
[Module]; }
}
[Body]
{
Cc=0;
for(z=1.6; z>=-1.6; z-=0.04)
{
Zr=x*cos(Al)+z*sin(Al); Zj=-x*sin(Al)+z*cos(Al);
Zi=y; Zk=0;
Exec [Julia];
if(C>Cc) { Cc=C; Zc=z;}
}
if(Cc==CMax)
{
if (Zc<0)
SetColor((Zc+1)*200,0,0);
else if(Zc<=1) SetColor(200+(Zc)*50,Zc*200,0);
else
SetColor(255,255,(Zc-1)*400);
}
else
SetColor(255,255,255);
}
[Init]
{
i=0; Al=0; CMax=10; Fractal=1;
Cr=0.845; Ci=-0.5; Cj=-0.113; Ck=-0.05;
}
[End]
{
SnapShot("JuliaQuat",i++);
Al=i*PI/32;
if(i<64) Redraw();
}
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